induksi matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

1. Notasi sigma
Buktikan :
$sum{k=1}{n}{3k^2}=3sum{k=1}{n}{k^2}$

Bukti :
$sum{k=1}{n}{3k^2}=3(1^2)+3(2^2)+3(3^2)+cdots~cdots+3(n^2)$
$sum{k=1}{n}{3k^2}=3({1^2}+{2^2}+{3^2}+cdots~cdots+{n^2})$
$sum{k=1}{n}{3k^2}=3sum{k=1}{n}{k^2}$ (terbukti)

2. Induksi matematika
Buktikan :
1+2+3+cdots~cdots+~n~=~{1/2}n(n+1)
Bukti :

berlaku untuk n = 1 karena ruas kiri dan ruas kanan menghasilkan 1
andaikan

berlaku untuk n = k, sehingga :
1+2+3+cdots~cdots+~k~=~{1/2}k(k+1)
maka untuk n = k+1 ruas kiri akan memperoleh bentuk :
1+2+3+cdots~cdots+~k~+~(k+1)~=~{1/2}k(k+1)+(k+1)

di ruas kanan : jika k diganti oleh k + 1, maka akan menghasilkan :
{1/2}(k+1)(k+2) sama dengan ruas kiri.